Velocidadeé definido como a velocidade de um objeto em uma determinada direção. Em muitas situações comuns, para encontrar a velocidade, usamos a equação v = s / t, onde v é igual à velocidade, s é igual ao deslocamento total desde a posição inicial do objeto e t é igual ao tempo decorrido. No entanto, isso tecnicamente só dá o objeto média velocidade em seu caminho. Usando o cálculo, é possível calcular a velocidade de um objeto a qualquer momento ao longo de seu caminho. Isso é chamado velocidade instantânea e é definido pela equação v = (ds) / (dt) , ou, em outras palavras, a derivada do objetovelocidade médiaequação.
Passos
Parte 1 de 3: Calculando a velocidade instantânea
- 1 Comece com uma equação para velocidade em termos de deslocamento. Para obter a velocidade instantânea de um objeto, primeiro temos que ter uma equação que nos diga sua posição (em termos de deslocamento) em um determinado ponto no tempo. Isso significa que a equação deve ter a variável s de um lado por si só e t por outro (mas não necessariamente por si só), assim:
s = -1,5t2+ 10t + 4
cinta de cotovelo para dor
- Nesta equação, as variáveis são:
- Deslocamento = s . A distância que o objeto percorreu desde sua posição inicial. Por exemplo, se um objeto vai 10 metros para a frente e 7 metros para trás, seu deslocamento total é de 10 - 7 = 3 metros (não 10 + 7 = 17 metros).
- Tempo = t . Autoexplicativo. Normalmente medido em segundos.
- Nesta equação, as variáveis são:
- 2 Pegue a derivada da equação. oderivadode uma equação é apenas uma equação diferente que indica sua inclinação em qualquer ponto do tempo. Para encontrar a derivada de sua fórmula de deslocamento, diferencie a função com esta regra geral para encontrar derivadas: Se y = a * xn, Derivada = a * n * xn-1 .Esta regra é aplicada a todos os termos do lado 't' da equação.
- Em outras palavras, comece percorrendo o lado 't' da equação da esquerda para a direita. Cada vez que você atingir um 't', subtraia 1 do expoente e multiplique o termo inteiro pelo expoente original. Quaisquer termos constantes (termos que não contêm 't') desaparecerão porque serão multiplicados por 0. Este processo não é realmente tão difícil quanto parece - vamos derivar a equação na etapa acima como um exemplo:
s = -1,5t2+ 10t + 4
(2) -1,5t(2-1)+ (1) 10tonze+ (0) 4p0
-3т1+ 10t0
-3t + 10
- Em outras palavras, comece percorrendo o lado 't' da equação da esquerda para a direita. Cada vez que você atingir um 't', subtraia 1 do expoente e multiplique o termo inteiro pelo expoente original. Quaisquer termos constantes (termos que não contêm 't') desaparecerão porque serão multiplicados por 0. Este processo não é realmente tão difícil quanto parece - vamos derivar a equação na etapa acima como um exemplo:
- 3 Substitua 's' por 'ds / dt. 'Para mostrar que nossa nova equação é uma derivada da primeira, substituímos' s 'pela notação' ds / dt '. Tecnicamente, essa notação significa 'a derivada de s em relação a t'. Uma maneira mais simples de pensar nisso é simplesmente que ds / dt é apenas a inclinação de qualquer ponto dado na primeira equação. Por exemplo, para encontrar a inclinação da linha feita por s = -1,5t2+ 10t + 4 em t = 5, apenas inseriríamos '5' em t em sua derivada.
- Em nosso exemplo de execução, nossa equação finalizada agora deve se parecer com isto:
ds / dt = -3t + 10
- Em nosso exemplo de execução, nossa equação finalizada agora deve se parecer com isto:
- 4 Insira um valor t para sua nova equação para encontrar a velocidade instantânea. Agora que você tem sua equação derivada, encontrar a velocidade instantânea em qualquer ponto no tempo é fácil. Tudo o que você precisa fazer é escolher um valor para t e inseri-lo em sua equação derivada. Por exemplo, se quisermos encontrar a velocidade instantânea em t = 5, substituiríamos apenas '5' por t na derivada ds / dt = -3 + 10. Então, resolveríamos apenas a equação assim:
ds / dt = -3t + 10
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 metros / segundo- Observe que usamos o rótulo 'metros / segundo' acima. Visto que estamos lidando com deslocamento em termos de metros e tempo em termos de segundos e a velocidade em geral é apenas deslocamento ao longo do tempo, este rótulo é apropriado.
Parte 2 de 3: Estimando a velocidade instantânea graficamente
- 1 Faça um gráfico do deslocamento do seu objeto ao longo do tempo. Na seção acima, mencionamos que as derivadas são apenas fórmulas que nos permitem encontrar a inclinação em qualquer ponto da equação para a qual você tomou a derivada. Na verdade, se você representar o deslocamento de um objeto com uma linha em um gráfico, a inclinação da linha em qualquer ponto é igual à velocidade instantânea do objeto naquele ponto.
- Para representar graficamente o deslocamento de um objeto, use o eixo x para representar o tempo e o eixo y para representar o deslocamento. Então, apenaspontos da tramainserindo valores para t em sua equação de deslocamento, obtendo valores s para suas respostas e marcando os pontos t, s (x, y) no gráfico.
- Observe que o gráfico pode se estender abaixo do eixo x. Se a linha que representa o movimento do seu objeto cair abaixo do eixo x, isso representa seu objeto se movendo para trás de onde começou. Geralmente, seu gráfico não se estende atrás do eixo y - não costumamos medir a velocidade de objetos que se movem para trás no tempo!
- 2 Escolha um ponto P e um ponto Q que esteja próximo a ele na linha. Para encontrar a inclinação de uma linha em um único ponto P, usamos um truque chamado 'tomar um limite'. Tomar um limite envolve tomar dois pontos (P, mais Q, um ponto próximo a ele) na linha curva e encontrar a inclinação da linha que os liga continuamente à medida que a distância entre P e Q fica menor.
- Digamos que nossa linha de deslocamento contenha os pontos (1,3) e (4,7). Neste caso, se quisermos encontrar a inclinação em (1,3), podemos definir (1,3) = P e (4,7) = Q .
- 3 Encontre a inclinação entre P e Q. A inclinação entre P e Q é a diferença nos valores y para P e Q sobre a diferença nos valores x para P e Q. Em outras palavras, H = (eQ- YP) / (xQ- xP) , onde H é a inclinação entre os dois pontos. Em nosso exemplo, a inclinação entre P e Q é:
H = (eQ- YP) / (xQ- xP)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1,33
dicas de tênis profissional
- 4 Repita várias vezes, movendo Q mais perto de P. Seu objetivo aqui é tornar a distância entre P e Q cada vez menor até chegar perto de um único ponto. Quanto menor for a distância entre P e Q, mais próxima a inclinação de seus pequenos segmentos de linha estará da inclinação no ponto P. Vamos fazer isso algumas vezes para nossa equação de exemplo, usando os pontos (2,4,8), (1,5 , 3,95), e (1.25,3.49) para Q e nosso ponto original de (1,3) para P:
Q = (2,4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
H = (1,8) / (1) = 1.8
Q = (1,5,3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
H = (.95) / (. 5) = 1,9
Q = (1,25,3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
H = (0,49) / (0,25) = 1,96 - 5 Estime a inclinação para um intervalo infinitamente pequeno na linha. À medida que Q se aproxima cada vez mais de P, H fica cada vez mais perto da inclinação no ponto P. Eventualmente, em um intervalo infinitamente pequeno, H será igual à inclinação em P. Porque não somos capazes de medir ou calcular infinitamente pequeno intervalo, apenas estimamos a inclinação em P assim que estiver claro a partir dos pontos que tentamos.
- Em nosso exemplo, conforme movemos Q para mais perto de P, obtivemos valores de 1,8, 1,9 e 1,96 para H. Como esses números parecem estar se aproximando de 2, podemos dizer que 2 é uma boa estimativa para a inclinação em P.
- Lembre-se de que a inclinação em um determinado ponto de uma linha é igual à derivada da equação da linha naquele ponto. Uma vez que nossa linha está mostrando o deslocamento de nosso objeto ao longo do tempo e, como vimos na seção acima, a velocidade instantânea de um objeto é a derivada de seu deslocamento em um determinado ponto, também podemos dizer que 2 metros / segundo é uma boa estimativa para a velocidade instantânea em t = 1.
Parte 3 de 3: Problemas de amostra
- 1 Encontre a velocidade instantânea em t = 4 dada a equação de deslocamento s = 5t3- 3t2+ 2t + 9. É exatamente como o nosso exemplo na primeira seção, exceto que estamos lidando com uma equação cúbica em vez de uma equação quadrática, portanto, podemos resolvê-la da mesma maneira.
- Primeiro, vamos usar a derivada de nossa equação:
s = 5t3- 3t2+ 2t + 9
s = (3) 5t(3 - 1)- (2) 3p(vinte e um)+ (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1
15t(2)- 6t(1)+ 2t(0)
15t(2)- 6t + 2 - Então, vamos inserir nosso valor para t (4):
s = 15t(2)- 6t + 2
15 (4)(2)- 6 (4) + 2
15 (16) - 6 (4) + 2
240 - 24 + 2 = 218 metros / segundo
- Primeiro, vamos usar a derivada de nossa equação:
- 2 Use a estimativa gráfica para encontrar a velocidade instantânea em (1,3) para a equação de deslocamento s = 4t2- t. Para este problema, usaremos (1,3) como nosso ponto P, mas teremos que encontrar alguns outros pontos próximos a ele para usar como nosso ponto Q. Então, é só uma questão de encontrar nossos valores H e fazer uma estimativa.
- Primeiro, vamos encontrar Q pontos em t = 2, 1,5, 1,1 e 1,01.
s = 4t2- t
t = 2: s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, então Q = (2,14)
t = 1,5: s = 4 (1,5)2- (1,5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, então Q = (1,5,7,5)
t = 1,1: s = 4 (1,1)2- (1,1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, então Q = (1.1,3.74)
t = 1,01: s = 4 (1,01)2- (1.01)
4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, então Q = (1,01,3,0704) - A seguir, vamos obter nossos valores H:
Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
H = (11) / (1) = onze
Q = (1,5,7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
H = (4,5) / (, 5) = 9
Q = (1,1,3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
H = (.74) / (. 1) = 7,3
Q = (1.01,3.0704): H = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
H = (.0704) / (. 01) = 7,04 - Uma vez que nossos valores H parecem estar ficando muito próximos de 7, podemos dizer que 7 metros / segundo é uma boa estimativa para a velocidade instantânea em (1,3).
- Primeiro, vamos encontrar Q pontos em t = 2, 1,5, 1,1 e 1,01.
Comunidade Q&A
Pesquisa Adicionar nova pergunta- Pergunta Qual é a diferença entre velocidade instantânea e média? Instantâneo é naquele momento, enquanto a média é a média de todo o intervalo de tempo.
- Pergunta Como calculo a aceleração instantânea? A aceleração instantânea pode ser considerada como o valor da derivada da velocidade instantânea. Por exemplo: s = 5 (t ^ 3) - 3 (t ^ 2) + 2t + 9 v = 15 (t ^ 2) - 6t + 2 a = 30t - 6 Se quisermos saber a aceleração instantânea em t = 4, então a (4) = 30 * 4 - 6 = 114 m / (s ^ 2)
- Pergunta Quando a velocidade instantânea e a velocidade média são iguais? A velocidade instantânea informa a velocidade de um objeto em um único momento no tempo. Se o objeto estiver se movendo com velocidade constante, a velocidade média e a velocidade instantânea serão as mesmas. Em todas as situações, eles provavelmente não serão os mesmos.
- Como posso encontrar a velocidade zero entre duas vezes? Responda
- Como posso encontrar a velocidade zero entre duas vezes? Responda
- Como calculo 5t + 12t ^ 2? Responda
Propaganda
Vídeo . Ao usar este serviço, algumas informações podem ser compartilhadas com o YouTube.
Dicas
- Para encontrar a aceleração (a mudança na velocidade ao longo do tempo), use o método da parte um para obter uma equação derivada para sua função de deslocamento. Então, pegue outra derivada, desta vez de sua equação derivada. Isso lhe dará uma equação para encontrar a aceleração em um determinado momento - tudo o que você precisa fazer é inserir o valor do tempo.
- A equação que relaciona Y (deslocamento) a X (tempo) pode ser muito simples, como, por exemplo, Y = 6x + 3. Neste caso, a inclinação é constante e não é necessário encontrar uma derivada para encontrar a inclinação, que é, seguindo o modelo básico Y = mx + b para gráficos lineares, 6.
- O deslocamento é como a distância, mas tem uma direção definida, o que torna o deslocamento um vetor e a velocidade um escalar. O deslocamento pode ser negativo, enquanto a distância será apenas positiva.
Anúncio Envie uma dica Todos os envios de dicas são cuidadosamente analisados antes de serem publicados. Obrigado por enviar uma dica para análise!
